驻波中波长与弹性绳张力间的关系
实验：驻波中波长与张力 #
在我们实验课的驻波实验中，有一个实验是探究波长与绳拉力间的关系。不知道大家有没有想过两者间有什么关系？
驻波原理 #
波的叠加原理：
$$ y_1=sin(wt-\frac{x}{\lambda})$$
$$y_2=sin(wt+\frac{x}{\lambda})$$
$$y=y_1+y_2=sin(wt-\frac{x}{\lambda})+sin(wt+\frac{x}{\lambda})$$
$$=2sin(wt)cos(\frac{x}{\lambda})$$
从表达式中我们可以发现，只有弦长为半波长的整数倍时，驻波才有可能产生。 $$\lambda=v/f$$ 从上述分析我们可以发现驻波的波长与波速成正比，与波源的频率成反比。
实验 #
(实验过程（思路）)保持波源频率不变，弦长不变，随着绳子张力增大，波长也变长，当半波长的整数倍恰好等于弦长，测量形成驻波的波长。
（陈列数据） #
| 拉力 | 1.75 | 0.51 | 0.25 | 0.15 |
|---|---|---|---|---|
| 波长 | 1.38 | 68 | 45.3 | 34 |
（绘制散点图） #
（曲线拟合）当我们选择多项式拟合，选择次数2，我们发现实验数据完美拟合($R² = 1$)。
波长与拉力成二次关系，这是为什么呢？
弦振动问题 #
首先，假设一根绳子沿x轴放置，当它振动时，每一时刻t会在空中形成一个曲线形状($y=sin(-\frac{x}{\lambda}+\phi)$，把这个形状"拍照"
如果连续拍照，(相当于把时间看作一个维度)我们就会得到一个关于时间t变化的曲线"相册" $y=sin(wt-\frac{x}{\lambda})$
在微小振动下，弦的张力可视为处处相等
竖直方向受力平衡：
$$Tsin\theta_1-Tsin\theta_2+\rho g\cdot\mathrm{d}x=\rho \cdot\mathrm{d}x\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$
又因为：$sin\theta_1=tan\theta_1=(\frac{\partial u}{\partial x})_x$
$$sin\theta_2=tan\theta_2=(\frac{\partial u}{\partial x})_{x+\Delta x}$$
化简得：
$$
T(\frac{\partial u}{\partial x})_x-T(\frac{\partial u}{\partial x})_{x+\Delta x}-\rho g\cdot\mathrm{d}x=\rho\cdot\mathrm{d}x\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
$$
同时除$\rho\cdot dx$并移项：
$$(T/\rho)\cdot\frac{(\frac{\partial u}{\partial x})_x-(\frac{\partial u}{\partial x})_{x+\Delta x}}{dx}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=g$$
仔细观察，可以发现：
$$(T/\rho)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=g$$
略去重力： $$(T/\rho)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0$$ 带入波的方程$u=Asin(ωt-2πx/λ)$得： $$A\omega^2sin(ωt-2πx/λ)=(T/\rho)\cdot A(\frac{2\pi}{\lambda})^2sin(ωt-2πx/λ$$ 消掉！！！ $$T/\rho=(\omega\cdot \frac{\lambda}{2\pi})^2=v^2$$ 故弹性绳中波速： $$v=\sqrt{T/\rho}$$ 事情就对上号了
理论解释实验 #
回到刚刚的拟合曲线上
拟合方程：
$$T = 0.7498\lambda^2 + 0.2942\lambda - 0.0369$$
我们知道T是自变量，$\lambda$是应变量，改写原方程:
$$\lambda=\frac{-0.29+\sqrt{3T-0.02345}}{1.5}（1）$$
由：$v=\sqrt{T/\rho}$
可得：$\lambda=\frac{\sqrt T}{f\cdot\rho}（2）$
因此尽量把（1）往（2）变形:
其中$\sqrt{3T-0.02345}=\sqrt{3T}(1-0.02345/3T)^{1/2}$
由于 $T \in[0.2,1.7]$,则 $0.02345/3T$算小量
原式可变为
$$\lambda=\frac{\sqrt{3T}}{1.5}-(0.19+0.002/T)$$
在ggb上画出实际和理论曲线 #
修正一下：
我们发现在理论曲线$\frac{\sqrt{3T}}{1.5}$减去0.2后两条曲线完美重合，为什么呢？
x=0的点波速v小于0，这又是为什么？
可能的解释：当拉力太小时，重力不可忽略不计，原来的关系是不成立的。