3电场的基本法则

3.1库伦定律 #

$$F=\frac{q_1 q_2}{4\pi \epsilon _0}\cdot \frac{(\vec{x}-\vec{x’})}{|x-x’|^3} \tag{3.10}$$ 其中$\frac{1}{4\pi \epsilon _0}=10^{-7} c^2 \cdot\frac{NS^2}{C^2}=8.99$

3.2电场 #

$$E(x)=\lim_{q \to 0}\frac{F}{q} $$

例一： 六边形顶点带正电

一般法：略

通用法： $$ $$ 积分式： $$\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\vec{x}-\vec{x’} }{|\vec{x}-\vec{x’}|^3}\rho(\vec{x’})\mathrm dx’^3 $$

3.3电场的散度和旋度 #

$$\tag{静电场}$$ $$\tag{高斯公式(3.25)}$$ $$\tag{3.26}$$ 由(3.26)得： $$\tag{梯度满足结合律(3.30)}$$ 由(3.30)和(3.25)得： $$$$

3.4高斯定理的积分形式 #

$$$$ 证明：

1. 点电荷高斯定理成立
2. 电通量守恒且可叠加

故得证任意静电场中高斯定理成立

下证1. 点电荷高斯定理成立：

例1

$$$$

例2

$$$$

3.5格林函数和狄拉克-$\delta$函数 #

$$\tag{3.47}$$ 在$\delta$函数中，w->0,h->0,积分->1
三维$\delta$函数： $$$$ 格林函数： $$\tag{3.54}$$ 性质： $$\tag{3.53}$$ 证： $$$$