台球扎杆分析

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扎杆问题 #

什么是扎杆?请看下面一段视频！

扎杆实际上就是从斜上方击球，使球获得一个比较大的水平角速度，使球在台球桌上轨迹为弧线的现象。因为握杆击球的动作形式扎球，故曰：扎杆

建立球坐标 #

下面先普及一下球坐标的一点知识
图1：平面坐标系
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定

1. 其中r为原点O与点P间的距离；
2. θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；
3. φ为点P在xOy面上的投影与x轴的夹角

这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，
显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π]

$$ x=rsinθcosφ$$ $$y=rsinθsinφ$$ $$z=rcosθ $$

我们假设接触点为： $$R=(R,45°,45°)$$ 碰撞带来的冲量为： $$p=-(p,10°,55°)$$ 带入球坐标公式： $$R=(R/2,R/2,\sqrt{2}R/2)$$

$$p=(-psin(10)cos(55),-psin(10)sin(55),-pcos(55°))$$ 由杆的质量约为550g,出手速度约为0.2m/s动量p约为0.11kgm/s

通过分析碰撞–计算初始值 #

动能定理： $$p=mv$$ 转动定理： $$M=R\times F$$ $$M=I\beta$$ $$w==\beta t=\frac{M}{I} t=\frac{R\times p}{I} $$

解得$w_0$的初始值： $$w=\frac{1}{I} \begin{vmatrix} i& j &k \ 0& 0 & -R\ -psin(10)cos(55)&-psin(10)sin(55)&-pcos(55°) \end{vmatrix} $$ $$=(-44.822,48.2745,-2.439)rad/s$$

解的初始速度$v_0$： $$v=(-0.1305,-0.18631,0)m/s$$

分析台球弧线运动的受力 #

我们知道碰撞后台球🎱水平所受的力只有摩擦力，而摩擦力的方向取决于接触点的相对桌面的速度： $$v_s=v+w\times R$$ 其中v为质心速度，w为台球角速度。
摩擦力方向必定与$v_s$相反： $$\vec{f}=-\mu mg\hat{v_s}$$ 动量定理: $$f=m\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}$$ 转动定理： $$R\times f=M=I\frac{\mathrm d\vec{w}}{\mathrm dt}$$
得到的两个式子都是矢量形式，故展开可得到4个微分方程

四大高手 #

$$\frac{\mathrm d }{\mathrm d t} \mathrm{v_x}\left(t\right)= -2.5\frac{ \left(\mathrm{v_x}\left(t\right)-R\cdot w_y (t)\right) } { \sqrt{{\left(\mathrm{v_x}\left(t\right)-R\cdot w_y (t)\right)}^2 +{\left(\mathrm{v_y}\left(t\right)+R\cdot w_x (t)\right)}^2}}$$ $$\frac{\mathrm d }{\mathrm d t} \mathrm{v_y}\left(t\right)= -2.5\frac{ \left(\mathrm{v_y}\left(t\right)+R\cdot w_x (t)\right) } { \sqrt{{\left(\mathrm{v_x}\left(t\right)-R\cdot w_y (t)\right)}^2 +{\left(\mathrm{v_y}\left(t\right)+R\cdot w_x (t)\right)}^2} }$$ $$\frac{\mathrm d }{\mathrm d t} \mathrm{w_x}\left(t\right)= -218.4\frac { \left(\mathrm{v_y}\left(t\right)+R\cdot w_x (t)\right) } { \sqrt{{\left(\mathrm{v_x}\left(t\right)-R\cdot w_y (t)\right)}^2 +{\left(\mathrm{v_y}\left(t\right)+R\cdot w_x (t)\right)}^2} }$$

$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \mathrm{w_y}\left(t\right)= -218.4\frac{ \left(R\cdot w_y (t)-\mathrm{v_x}\left(t\right)\right) } { \sqrt{ {\left(\mathrm{v_x}\left(t\right)-R\cdot w_y (t)\right)}^2 +{\left(\mathrm{v_y}\left(t\right)+R\cdot w_x (t)\right)}^2} } $$

“四大高手"四个方程四个未知量，理论上是可以求出V（t）,W(t) 的微分方程，但是想手算的话，下面的操作就非常重要了，我们把四大高手姑且简化为下列两个方程 $$\frac{\mathrm dv}{\mathrm d t}=k_1\hat{v_{s}}$$ $$\frac{\mathrm dw}{\mathrm d t}=k_1(z\times \hat{v_{s}})$$ 这里表示v的变化量是沿$v_s$方向，w的变化量是沿垂直$v_s$方向。
那么$v_s$是怎么变化的呢？巧妙的地方就在这里 $$\frac{\mathrm d\vec{v_s}}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d(\vec{v}+w\times R)}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm dw}{\mathrm dt}\times R=k_1\hat{v_s}+k_2R\hat{v_s}=(k_1+k_2R)\hat{v_s}$$ 闹了半天，原来$v_s$的方向不变，那么摩擦力的方向自然是不变的。台球的运动轨迹显然是一个抛物线。
那么这种运动何时停止呢？
我们知道$v_s$虽然方向不变，但是大小一直在变小 $$当v_s=v+w\times R=0时$$ 台球达到纯滚，之后做直线运动

轨迹模拟 #

抛物线方程： $$t_0=\frac{v_s}{\mu g}$$ $$x=v_{0x}t-\frac{v_{xs}\mu g}{2v_s}t^2$$ $$y=v_{0y}t-\frac{v_{ys}\mu g}{2v_s}t^2$$ 直线方程： $$x=x(V_0) (t + t_{0}) - cos(θ) t_{0} (t_{0} + 2t)$$ $$y=y(V_0) (t + t_{0}) - sin(θ) t_{0} (t_{0} + 2t)$$ Geogebra——台球加塞轨迹