台球加上下塞运算
台球的上下塞有什么区别 #
1. 这是台球下塞的计算 #
1.1 在高$h$的地方给球一个冲量$p$ #
速度: $$v_0=\frac{p}{m}$$ 角速度: $$\omega_0 =\frac{pR\cdot sin\theta}{I}$$ $$sin\theta=\frac{R-h}{R}$$
2.2 台球发生滚动 #
速度：
$$v=v_0-(f/m)\cdot t$$
角速度：
$$w=w_0-\frac{fR}{I}\cdot t$$
纯滚：
$$v=-\omega\cdot R$$
(有负号是因为初始旋转方向与速度方向相反)
联立上述所有式子可解得:
$$v=\frac{5p}{7m}(1-sin\theta)$$
台球的纯滚动末态分为三种情况 #
1. 向前纯滚
2. 静止不动
3. 向后纯滚
其中临界情况为静止不动（$v=0$）
临界情况解得：
$$h=0$$
当$h=0$时，为上述第二种情况：静止不动
当$h>0$时，为上述第一种情况：向前滚动
$h<0$不成立，故不存在第三种情况
2. 加上塞 #
即令($h>R$)
此时：
$$\sin\theta=\frac{h-R}{R}>0$$
速度:
$$v_0=\frac{p}{m}$$
角速度:
$$\omega_0 =\frac{pR\cdot sin\theta}{I}$$
根据摩擦力向前向后可分为：
- 向前( $v<wr$ )
- 向后( $v>wr$ )
临界情况：$v=wr$
解得：
$$sin\theta=\frac{2}{5}, h=\frac{7}{5}R$$
1. $h>\frac{7}{5}R$(摩擦力向前) #
速度： $$v=v_0+(f/m)\cdot t$$ 角速度： $$w=w_0-\frac{fR}{I}\cdot t$$ $$v=wR$$ 解得 $$t=(\frac{5}{2}sin\theta-1)\frac{p}{m\cdot \frac{7f}{2m}}$$ 小球达到向前纯滚 $$v=\frac{5}{7}(sin\theta+1)\frac{p}{m}$$
2. $h<\frac{7}{5}R$(摩擦力向后) #
速度： $$v=v_0-(f/m)\cdot t$$ 角速度： $$w=w_0+\frac{fR}{I}\cdot t$$ $$v=wR$$ 解得 $$t=(1-\frac{5}{2}sin\theta)\frac{p}{m\cdot \frac{7f}{2m}}$$ 小球达到向前纯滚 $$v=\frac{5}{7}(sin\theta+1)\frac{p}{m}$$
3. $h=\frac{7}{5}R$(小球一开始达到向前纯滚) #
matlab解微分方程 #
- 求解析解
- 使用函数s=dsolve(eqn,cond)
(其中rqn为方程，cond为条件（例如y(0)==b;Dy(0)==0)） ) - 例1
eqn: x’’==-k/m x; comd: [x(0)==0,x’==v]
- 使用函数s=dsolve(eqn,cond)
syms y(t) k v;
>> eqn=diff(y,t,2)==-k*y;
>> cond=[y(0)==0,Dy(0)==v];
>> s=dsolve(eqn,cond)
s =
(v*exp(-(-k)^(1/2)*t)*(exp(2*(-k)^(1/2)*t) - 1))/(2*(-k)^(1/2))
>> slatex=latex(s)
slatex =
'\frac{v\,{\mathrm{e}}^{-\sqrt{-k}\,t}\,\left({\mathrm{e}}^{2\,\sqrt{-k}\,t}-1\right)}{2\,\sqrt{-k}}'得到结果： $$\frac{v,{\mathrm{e}}^{-\sqrt{-k},t},\left({\mathrm{e}}^{2,\sqrt{-k},t}-1\right)}{2,\sqrt{-k}}$$ 代入k>0的事实： $$v\sqrt{\frac{m}{v}}sin(\sqrt{\frac{v}{m}}t)$$ 2.
>> clear
>> syms vx(t) vy(t) wx(t) wy(t)
>> eqn1=diff(vx,t)==-2.5*(vx-0.0286*wy)/((vx-0.0286*wy)^2+(vy+0.0286*wx)^2)^(1/2);
>> eqn2=diff(vy,t)==-2.5*(vy+0.0286*wx)/((vx-0.0286*wy)^2+(vy+0.0286*wx)^2)^(1/2);
>> eqn3=diff(wx,t)==-218.4*(vy+0.0286*wx)/((vx-0.0286*wy)^2+(vy+0.0286*wx)^2)^(1/2);
>> eqn4=diff(wy,t)==-218.4*(vx-0.0286*wy)/((vx-0.0286*wy)^2+(vy+0.0286*wx)^2)^(1/2);
>> eqn=[eqn1,eqn2,eqn3,eqn4];
>> cond1=[vx(0)==-0.1305];
>> cond2=[vy(0)==-0.18631];
>> cond3=[wx(0)==-44.822];
>> cond4=[wy(0)==48.2745];
>> cond=[cond1,cond2,cond3,cond4];
>> [vxs(t),vys(t),wxs(t),wys(t)]=dsolve(eqn,cond)